Das Modell von Bornholdt und Ebel

Dieses Modell ist eine Wiederentdeckung des Simon-Modells [33] von 1955 zur Erklärung der Häufigkeitsverteilung von Worten in Texten. Bornholdt und Ebel [34] haben das Modell auf das WWW übertragen. Wie bei dem Modell von Dorogovtsev et al. wird auch hier nur die Indegree-Verteilung betrachtet.

Ausgehend von einem Netzwerk mit $N$ Knoten mit den Degrees $k_i$ für $i=1$ bis $N$, werden alle Knoten in Klassen $[k]$ zusammengefasst. Eine Klasse $[k]$ ist definiert als die Menge aller Knoten mit einem Degree $k$. Die Kardinalität einer Klasse $[k]$ wird mit $f(k)$ bezeichnet. Sie entspricht der Anzahl von Knoten mit Degree $k$ im Netzwerk. Für das Wachstum des Netzwerks werden folgende Schritte iteriert:

• Mit der Wahrscheinlichkeit $p$ wird dem Netzwerk ein neuer Knoten hinzugefügt und bekommt von einem nicht näher spezifizierten Knoten einen Inlink.
• Ansonsten wird eine neue Verbindung von einem willkürlich gewählten Knoten zu einem Knoten $j$ der Klasse $[k]$ geknüpft. Die Klasse $[k]$ wird mit folgender Wahrscheinlichkeit gewählt

  $$P_{[k]}=\frac{k f(k)}{\sum_i if(i)}.$$ (2.12)

  
  

Die Wahl der Ursprungsknoten ist hier uninteressant, da nur die Indegree-Verteilung betrachtet wird. Die stationäre Lösung für die Indegree-Verteilung entspricht einem Potenzgesetz $P(k)\sim k^{-\nu }$ mit einem Exponenten

$$\nu=1+\frac{1}{1-p}.$$ (2.13)

In Abhängigkeit von $p$ kann der Exponent Werte zwischen $2 \leq \nu < \infty$ annehmen. Ein wesentlicher Unterschied zu dem vohergehenden Modell von Dorogovtsev et al. ist die Möglichkeit, den Parameter $p$ unabhängig von der Verteilung aus empirischen Daten zu bestimmen. Interpretiert man dieses Modell im Kontext des WWW, dann entspricht der erste Schritt der Erscheinung einer neuen Webseite. Der zweite Schritt beschreibt den Vorgang, daß eine bestehende Seite einen neuen Link auf eine andere Seite hinzufügt. Der einzige Parameter $p$ des Modells entspricht daher dem Verhältnis von neuen Seiten zu neuen Verbindungen in einem Zeitintervall. Aus zwei Untersuchungen einer Suchmaschine des WWW zu verschiedenen Zeitpunkten [14] wurde der Parameter $p \simeq 0.1$ bestimmt. Der im Rahmen dieses Modells aus (2.13) resultierende Exponent $2.1$ stimmt gut mit den empirischen Untersuchungen des WWW überein (vgl. Tab. 1.1) und ist robust gegen kleine Änderungen von $p$.