Das Modell von Dorogovtsev, Mendes und Samukhin

Dorogovtsev et al. erweiterteten das BA-Modell, um dessen Schwächen zu beheben. In diesem Modell wird aus eher praktischen Gründen ein gerichtetes Netzwerk betrachtet. Das Modell beschränkt sich in allen Untersuchungen auf die eingehenden Verbindungen eines Knotens, um die Verbindungen losgelöst von deren Quelle betrachten zu können. Das erlaubt einerseits die Existenz von externen Verbindungen, d.h. Verbindungen von außerhalb des Netzes zu Knoten im Netzwerk. Andererseits sind mehrfache identische Verbindungen möglich und lassen folgende Anfangsbedingungen für das Modell zu.

Das Modell beginnt zum Zeitpunkt $t=1$ mit einem Knoten mit Indegree $m$. In jedem Zeitschritt werden ein neuer Knoten und $m$ Inlinks mit willkürlichem Ursprung zu den Knoten des Netzwerk hinzugefügt. Diese Inlinks werden in Abhängigkeit von der Attraktivität $A_j$ der einzelnen Knoten $j$ im Netzwerk verteilt. Die Attraktivität $A_j$ der Knoten

$$A_j=A_0 + k_j$$ (2.9)

setzt sich zum einen aus einer konstanten anfänglichen Attraktivität $A_0$ der Knoten und deren (In-)Degree $k_j$ zusammen. Dementsprechend startet jeder Knoten mit der Attraktivität $A_0$ und wächst dann mit $k_j$. Der Fall $A_0=m$ entspricht dem BA-Modell. Das Modell besteht zum Zeitpunkt $t$ aus $N=t$ Knoten und $mt$ Verbindungen. Die Gesamtattraktivität der Knoten im Netzwerk beträgt $\sum_{n} (A_0 + k_n)$, wobei $n$ über alle Knoten in Netzwerk summiert. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Knoten $j$ einen Inlink erhält

$$\Pi(k_j) = \frac{A_0+k_j}{\sum_{n} (A_0 + k_n)}$$ (2.10)

Für dieses Modell läßt sich die Wachstumsdynamik folgendermaßen zusammenfassen:

• Start zum Zeitpunkt $t=1$ mit einem Knoten mit Indegree $m$.

• Wachstum: In jedem Zeitschritt $t$ wird ein Knoten mit der Anfangsattraktivität $A_0$ und $m$ Inlinks dem Netzwerk hinzugefügt.

• Preferential Attachment: Die Wahrscheinlichkeit $\Pi$, daß ein bestimmter Knoten $j$ als Ziel eines der $m$ Inlinks ausgewählt wird, hängt von der Anzahl Inlinks $k_j$, die er bereits auf sich vereinigt und der Anfangsattraktivität $A_0$ ab, via $\Pi(k_j) = \frac{A_0+k_j}{\sum_{n} (A_0 + k_n)}$.

Die lange Herleitung [7] soll hier nicht wiedergeben werden, sondern nur die wesentliche Eigenschaft des Modells, daß der Exponent der Degree-Verteilung $P(k)\sim k^{-\nu }$ durch die beiden Parameter des Modells, $A_0$ und $m$, Werte zwischen $2$ und $\infty$ annehmen kann.

$$\nu = 2+\frac{A_0}{m}.$$ (2.11)

Die Erweiterung des BA-Modells um eine Anfangsattraktivität von Knoten stellt einen wichtigen Schritt auf dem Weg zu besseren Modellen realer skalenfreier Netzwerke dar.

Ein Nachteil dieses Modells ist, daß die initiale Attraktivität von Knoten $A_0$ experimentell nicht zugänglich ist.