Vorhersage des Modells von Krapivsky et al.

Im Gegensatz zu der vorangehenden Näherung (4.2) sagt das Modell von Krapivsky et al. [8] eine korrelierte Form der gemeinsamen Verteilung $r(i,j)$ vorher (vgl. Abschnitt 2.3.4).

Für die Bestimmung der gemeinsamen Verteilung $r_{krr}(i,j)$ des Modells wird die Rekursionsformel (2.19) benutzt

$$[i+a (j+\mu)+b]r_{krr}(i,j) = (i-1+\lambda)r_{krr}(i-1,j)$$

$$+ a (j-1+\mu)r_{krr}(i,j-1)$$

$$+ p (1+p\lambda)\delta_{i0}\delta_{j1}.$$ (4.3)

Darin sind $a$,$b$ Konstanten. Aufgrund der diskreten Natur dieser Verteilung läßt sich die Verteilung sehr gut numerisch bestimmen. Mit dem Exponenten der Indegree-Verteilung $\nu _{in}$, dem Exponenten der Outdegree-Verteilung $\nu _{out}$ und der Anzahl von Knoten $N$ und Links $N_L$ des Webcrawls können die Parameter des Modells $p$, $\lambda$, $\mu$ bestimmt werden. Aus (2.22, 2.23, 2.16) und $p+q = 1$ folgt durch einfache Umformung:

$$p = \frac{1}{<k>} = \frac{N}{N_L}$$ (4.4)

$$\lambda = \frac{\nu_{in}-2}{p}$$ (4.5)

$$\mu = \frac{q (\nu_{out}-1-\frac{1}{q})}{p}$$ (4.6)

Bei diesem Modell gelten folgende Randbedingungen:

• Jeder Knoten entsteht mit einem Outlink, daher ist $r(i,j<1)=0$.
• Es existieren keine Knoten mit Indegree kleiner 0, $r(i<0,j)=0$.

Mit diesen Bedingungen und (4.3) folgt für den Ausgangspunkt der Rekursion $r(0,1)=p(1+p\lambda)/(a\mu+b)$. Die gemeinsame Verteilung $r_{krr}(i,j)$ des Modells ist in Abbildung 4.4 dargestellt.

Abbildung: Gemeinsame Verteilung $r_{krr}(i,j)$ des Modells von Krapivsky et al. mit den Parametern $\lambda =0.96$, $\mu =1.42$ und $p=1/6.4$, die nach den Gleichungen (4.4 - 4.6) aus den Daten des Webcrawls bestimmt wurden. Die Färbung gibt den Logarithmus der Wahrscheinlichkeit an, einen Knoten mit Inlinks i und Outlinks j zu finden. Die Verteilung ist auf $r_{krr}(1,1)$ normiert.