Mittlerer Indegree der Nachbarschaft

Zeigt das WWW eine ähnliche Korrelation in der Organisation der Indegrees von Knoten ? Um dieser Frage nachzugehen, wurde zu jedem Knoten $n$ mit Indegree $i$ der mittlere Indegree $I_{n}(i)$ seiner Nachbarn im Netzwerk bestimmt. Dabei wurden nur die benachbarten Knoten betrachtet, welche auf den Knoten $n$ zeigen. Für die Suche nach einer Hierarchie im gesamten Netzwerk ist der mittlere Indegree $I(i)$ der Nachbarschaft eines beliebigen Knotens mit eigenem Indegree $i$ interessant:

$$I(i) = \frac{\sum_n I_n(i)}{N(i)},$$ (5.1)

$N(i)$ möge die Anzahl der Knoten mit Indegree $i$ sein. In Abbildung 5.1 ist der mittlere Indegree der Nachbarn $I(i)$ in Abhängigkeit des Indegree eines Knotens $i$ aufgetragen.

Abbildung: Mittlerer Indegree $<I>$ der Nachbarn eines Knotens mit Indegree $i$. Es wurde nur die Nachbarschaft betrachtet, die auf diesen Knoten verweist (Inlink-Nachbarn).

Die Nachbarschaft von Knoten mit $i=1\ldots5$ zeichnet sich durch Knoten mit deutlich höherem Indegree aus. Bereits im Abschnitt 4.5 wurde festgestellt, daß der Bereich von Knoten mit einem Indegree von $i < 5$ deutlichen Randeffekten unterliegt. Daher muß dieser Bereich auch hier als Randeffekt betrachtet werden.

Der folgende Bereich von $5 < i < 200$ zeigt einen näherungsweise ebenen Verlauf um einen Wert von 20. In einem Netzwerk ohne Korrelationen zwischen dem Indegree und Outdegree eines Knotens sowie zwischen dem Indegree eines Knotens und dem Indegree eines Nachbarn würde ein ebener Verlauf um einen Wert von $<k_{in}>=6.4$ erwartet. Der Indegree $i$ eines Knotens mit Outdegree $j$ tritt als Nachbar von $j$ Knoten in Erscheinung. In Kapitel 4 zeigte sich eine deutlich höhere Präsenz von Knoten mit hohem Indegree und hohem Outdegree als in Netzwerken ohne Korrelationen zwischen den Degrees eines Knotens. Es erscheinen demnach Knoten mit hohem Indegree häufiger in der Nachbarschaft von anderen Knoten, als Knoten mit niedrigem Indegree. Die Korrelationen zwischen dem In- und Outdegree eines Knotens können vermutlich als die Ursache für den höheren mittleren Indegree der Nachbarn betrachtet werden.

Für $i > 1000$ sind zu wenig Daten vorhanden, um verläßliche Aussagen machen zu können.

Als Ergebnis ist keine auffällige Korrelation zwischen dem Indegree eines Knotens und dem mittleren Indegree seiner Nachbarn zu finden. Dieses Ergebnis stellt einen wesentlichen Unterschied zwischen der Organisation von Knoten im WWW und dem Internet bzw. den Protein-Netzwerken dar. Dort zeigte sich eine klare Neigung, daß Knoten mit hohem Degree eher in der Nachbarschaft von Knoten mit niedrigem Degree existieren und vice versa.

Abbildung: Korrelationen zwischen den Indegrees benachbarter Knoten. Es werden die Verbindungen zwischen Knoten betrachtet, in Abhängigkeit vom Indegree des Quellknotens $i_1$ (hier $i_1=2$) und dem Indegree des Zielknotens $i_2$ (hier $i_2=3$).