Degree

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Degree

Die grundlegende und meist untersuchte Eigenschaft einzelner Knoten ist der Degree. Der Degree

eines Knotens bezeichnet die Anzahl seiner Verbindungen zu anderen Knoten. In gerichteten Netzwerken ist der Indegree

die Anzahl der Verbindungen, die an diesem Knoten enden und der Outdegree

die Anzahl der abgehenden Verbindungen. Entsprechend wird $k_{\rightleftharpoons }=k_i+k_o$ als Gesamtdegree oder Degree eines Knotens in gerichteten Netzwerken bezeichnet. Der Degree

eines Knotens in ungerichteten Netzwerken ist nicht notwendigerweise mit dem Gesamtdegree $k_{\rightleftharpoons}$ eines Knotens in gerichteten Netzwerken identisch. Existieren zwischen zwei Knoten ein Hin- und Rücklink, so entspricht der Gesamtdegree beider Knoten $k_{\rightleftharpoons}=2$ . Interpretiert man dieses Beispiel ungerichtet, so entspricht der Gesamtdegree jeweils

(vgl. Abb. 2.1). Im Falle einer Baumstruktur ist $k=k_{\rightleftharpoons}$ .

**Abbildung:** Unterschied zwischen dem Gesamtdegree in gerichteten $k_{\rightleftharpoons }=k_i+k_o$ und ungerichteten Netzwerken .
$\begin{figure}\unitlength 1cm \small \centering \par \begin{picture}(10,2)\thi... ... \put(5,0){$k\not= k_{\rightleftharpoons}$} \end{picture}\par\par \end{figure}$

Unter den obigen Vorraussetzungen entspricht der Degree der Anzahl nächster Nachbarn eines Knotens. Die einzelnen Verteilungen der Knoten-Degrees stellen einen wesentlichen Teil dieser Arbeit dar, daher werden diese im Folgenden genauer definiert

bezeichnet die gemeinsame Verteilung der Knoten nach deren In- und Out-Degree.
bzw. $P(k_{\rightleftharpoons})$ bezeichnet die Verteilung der Knoten in Abhängigkeit von deren Degree. Für gerichtete Netzwerke ist $k_{\rightleftharpoons }=k_i+k_o$ .
$P_{in}(k_i)$ bezeichnet die Verteilung der Knoten nur in Abhängigkeit von deren In-Degree.
$P_{out}(k_o)$ bezeichnet die Verteilung der Knoten nur in Abhängigkeit von deren Out-Degree.

Alle Verteilungen lassen sich aus der gemeinsamen Verteilung bestimmen

$\displaystyle P(k_{\rightleftharpoons})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{k_o}P(k_{\rightleftharpoons}-k_o, k_o) = \sum_{k_i}P(k_i, k_{\rightleftharpoons}-k_i),$	(2.1)
$\displaystyle P_{in}(k_i)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{k_o}P(k_i,k_o),$	(2.2)
$\displaystyle P_{out}(k_o)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{k_i}P(k_i,k_o)$	(2.3)

Unter der obigen Vorraussetzung, daß keine Verbindungen von oder zu einem Knoten außerhalb des Netzwerks existieren, sind der mittlere In-Degree

und Out-Degree

gleich der mittleren Konnektivität

. Mit

als Quotient aus der Knotenanzahl

und der Verbindungsanzahl

im Netzwerk.

Wenn keinerlei Korrelationen zwischen den Knoten und ihren Degrees existieren, wird die Struktur des Netzwerks vollständig durch die gemeinsame Verteilung

beschrieben.

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Autor:Lutz-Ingo Mielsch